问题双曲线的问题
直线l：y=kx+1与双曲线C：2x＾-y＾=1的右支交于不同的两点A，B。
（1）求实数k的取值范围；
（2）求是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
直线l：y=kx+1与双曲线C：2x＾-y＾=1的右支交于不同的两点A，B。
（1）求实数k的取值范围；
（2）求是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
答案(1) 把y=kx+1代入2x＾-y＾=1得(2-k^)x^-2kx-2=0,设右支上A(x1,y2),B(x2,y2),则x1+x2=2k/(2-k^)>0,x1x2=-2/(2-k^)>0,∴k<-√2,即实数k的取值范围是(-∞，-√2).
(2) ∵AB中点M到焦点的距离为|MF|,∴|MF|^=[(x1+x2)/2-√6/2]^+[k(x1+x2/2+1]^=[k/(2-k^)-√6/2]^+[k^/(2-k^)+1]^=k^(1+k^)/(2-k^)^+(2k^-√6k)/(k^-2)+5/2.
设以AB为直径的圆的半径为r,则|AB|^=(1+k^)[(x1+x2)^-4x1x2=(1+k^)[(2k/(2-k^))^+8/(2-k^)],r^=|AB|^/4=k^(1+k^)/(2-k^)^+2(1+k^)/(2-k^). ∵ |MF|^-r^=(5k^+2√6k-6)/2(k^-2)=0,∵k<-√2,解得=-(6+√6)/5,∴ 存在实数k=-(6+√6)/5,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.
(2) ∵AB中点M到焦点的距离为|MF|,∴|MF|^=[(x1+x2)/2-√6/2]^+[k(x1+x2/2+1]^=[k/(2-k^)-√6/2]^+[k^/(2-k^)+1]^=k^(1+k^)/(2-k^)^+(2k^-√6k)/(k^-2)+5/2.
设以AB为直径的圆的半径为r,则|AB|^=(1+k^)[(x1+x2)^-4x1x2=(1+k^)[(2k/(2-k^))^+8/(2-k^)],r^=|AB|^/4=k^(1+k^)/(2-k^)^+2(1+k^)/(2-k^). ∵ |MF|^-r^=(5k^+2√6k-6)/2(k^-2)=0,∵k<-√2,解得=-(6+√6)/5,∴ 存在实数k=-(6+√6)/5,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.
