问题一道挺奇怪的题
以知A，B，C三点的坐标分别是（3-a，0），（6-a，0）直线l的方程为x=a，若M，N是直角坐标系的上半平面内相异的两点，这两点到直线的距离分别为d1，d2，且满足│AM/BM│=│AN/BN│=1/2及d1/│CM│=d2/│CN│=1
（1）求实数a的取值范围
（2）证明│CM│+│CN│为定值。
以知A，B，C三点的坐标分别是（3-a，0），（6-a，0）直线l的方程为x=a，若M，N是直角坐标系的上半平面内相异的两点，这两点到直线的距离分别为d1，d2，且满足│AM/BM│=│AN/BN│=1/2及d1/│CM│=d2/│CN│=1
（1）求实数a的取值范围
（2）证明│CM│+│CN│为定值。
答案 (1) 设M(x1,y1), N(x2,y2), │AM/BM│=│AN/BN│=1/2,[(x1-3+a)^+(y1)^]/[(x1-6+a)^+y1)^=1/4,整理得[(x1)-(2-a)]^+(y1)^=4…①, 同理,[(x2)-(2-a)]^+(y2)^=4…②,由此知M,N的坐标适合方程
[x-(2-a)]^+y^=4…③,
又d1/│CM│=d2/│CN│=1, (x1+a)^+(y1)^=(x1-a)^, 整理得,(y1)^=-4a(x2)…④,同理,(y2)^=-4a(x2)…⑤,∴M,N的坐标适合方程
y^=-4ax…⑥, 由③,⑥得, x^-2(a+2)x+a(a-4)=0…(*), 由△≥0,得a≥-1/2
(2) 由(*)式得M的横坐标 x1=2+a+√(2a+1), N的横坐标 x2=2+a-√(2a+1),∵d1/│CM│=d2/│CN│=1,由等比定理得(d1+d2)/(│CM│+│CN│)=d1/│CM│=d2/│CN│=1, ∴│CM│+│CN│=d1+d2=|x1-a|+|x2-a|=2+√(2a+1)+|2-√(2a+1)|,∵-1≤a≤3/2时,2≥ √(2a+1),∴│CM│+│CN│=4(定植),a>3/2时,2< √(2a+1),∴│CM│+│CN│=2√(2a+1)(不是定植).
[x-(2-a)]^+y^=4…③,
又d1/│CM│=d2/│CN│=1, (x1+a)^+(y1)^=(x1-a)^, 整理得,(y1)^=-4a(x2)…④,同理,(y2)^=-4a(x2)…⑤,∴M,N的坐标适合方程
y^=-4ax…⑥, 由③,⑥得, x^-2(a+2)x+a(a-4)=0…(*), 由△≥0,得a≥-1/2
(2) 由(*)式得M的横坐标 x1=2+a+√(2a+1), N的横坐标 x2=2+a-√(2a+1),∵d1/│CM│=d2/│CN│=1,由等比定理得(d1+d2)/(│CM│+│CN│)=d1/│CM│=d2/│CN│=1, ∴│CM│+│CN│=d1+d2=|x1-a|+|x2-a|=2+√(2a+1)+|2-√(2a+1)|,∵-1≤a≤3/2时,2≥ √(2a+1),∴│CM│+│CN│=4(定植),a>3/2时,2< √(2a+1),∴│CM│+│CN│=2√(2a+1)(不是定植).
