初中数学竞赛题－－几何

如图：

易知△EAF～△ECB，
∴AE/AF=EC/BC，AE=AF*EC/BC，
△DCF～△DAB，
∴CD/CF=AD/AB，CD=CF*AD/AB，
∴AE*CD=（AF*EC*CF*AD）/AC^2----(AB=BC=AC)
易知△CFA～△CAE，
∴CF/CA=CA/CE，CA^2=CF*CE,
同理△ACF～△ADC，
∴AC^2=AF*AD,
∴AE*CD=（AF*EC*CF*AD）/AC^2
=(AC^2*AC^2)/AC^2=AC^2为定值

证明二：
∵∠CAE=∠ACD=∠AFC=120°
又∠D+∠DAC=∠FCA+∠FAC=60°
∴∠ACE=∠D，
∴△ACD～△CAE，
∴AE/AC=AC/CD，
AE*CD=AC^2为定值