高而椭圆问题3

已知椭圆中心在原点，关于坐标轴对称，它与直线y=x+1交于p,q如果OP垂直于OQ，pq=二分之根号十，求椭圆方程。

解：设椭园方程为x²/a²+y²/b²=1,将y=x+1代入,得
x²/a²+(x+1)²/b²=1,展开化简得
(a²+b²)x²+2a²x+a²(1-b²)=0……(1).
设p,q的坐标分别为(xp,yp)和(xq,yq).则
xp+xq=-2a²/(a²+b²);
xpxq=a²(1-b²)/(a²+b²);
yp+yq=(xp+1)+(xq+1)=(xp+xq)+2=-2a²/(a²+b²)+2=2b²/(a²+b²)
ypyq=(xp+1)(xq+1)=xpxq+(xp+xq)+1
=a²(1-b²)/(a²+b²)-2a²/(a²+b²)+1
=b²(1-a²)/(a²+b²).
由于OP⊥Oq,且pq=√10/2.故有OP²+OQ²=PQ².即有
xp²+yp²+xq²+yq²=pq²
即(xp+xq)²+(yp+yq)²-2(xpxq+ypyq)=5/2……(2)
又pq²=(xp-xq)²+(yp-yq)²
=(xp+xq)²+(yp+yq)²-4(xpxq+ypyq)=5/2……(3)
(2)-(3)得2(xpxq+ypyq)=0
即有xpxq+ypyq=0……(4)
将(4)代入(2)得(xp+xq)²+(yp+yq)²=5/2……(5).
将xpxq和ypyq的表达式代入(4)得:
a²(1-b²)/(a²+b²)+b²(1-a²)/(a²+b²)=0,去分母即得
a²+b²=2a²b²
即1/b²=2-1/a²……(6)
再将xp+xq和yp+yq的表达式代入(5)得:
[-2a²/(a²+b²)]²+[2b²/(a²+b²)]²=5/2
即4(a^4+b^4)/(a²+b²)²=5/2
化简得3a^4-10a²b²+3b^4=0
即(3a²-b²)(a²-3b²)=0
故有a²=3b²……(7)
或b²=3a²(舍去,因为b<a).
将(7)代入(6)得1/b²=2-1/3b²,解之得b²=2/3.再代入(7)得a²=2.
故椭园方程为:x²/2+3y²/2=1.

题外话：此类问题并不难,但非常烦琐!建议楼主少出此类题目!