问题求教一道初中几何题
已知：一直角三角形ABC，∠C为９０度，BC＝a，AC＝２a，DF∥BC、EG∥AC，分别交AB于F、G；点D、E为AC、BC上的动点，且三角形CDE的面积与四边形ADEB的面积相等。
问：线段AF、FG、GB能否组成一直角三角形并证明之。（题图见附件）
已知：一直角三角形ABC，∠C为９０度，BC＝a，AC＝２a，DF∥BC、EG∥AC，分别交AB于F、G；点D、E为AC、BC上的动点，且三角形CDE的面积与四边形ADEB的面积相等。
问：线段AF、FG、GB能否组成一直角三角形并证明之。（题图见附件）
答案BC=a,AC=2a
三角形CDE的面积与四边形ADEB的面积相等
S△CDE=1/2S△ABC
CD*CE=1/2AC*BC=a^2
E为BC上动点,设BE/BC=p则:
(要使得三角形CDE的面积与四边形ADEB的面积相等,有0<p<1/2)
GB/AB=BE/BC=p..............................(1)
CE=BC-BE=a(1-p)
CD=a^2/CE=a/(1-p)
AD=AB-CD=2a-a/(1-p)=(a-2ap)/(1-p)
AF/AB=AD/AC=(1-2p)/[2(1-p)]................(2)
FG/AB=(AB-AF-BG)/AB=1-(1-2p)/[2(1-p)]-p
=(1-2p+2p^2)/[2(1-p)]......................(3)
(1)^2+(2)^2:
(GB/AB)^2+(AF/AB)^2
=p^2+(1-2p)^2/[2(1-p)]^2
=(4p^4-8p^3+8p^2-4p+1)/[2(1-p)]^2
(3)^2:
(FG/AB)^2
=(1-2p+2p^2)^2/[2(1-p)]^2
=(4p^4-8p^3+8p^2-4p+1)/[2(1-p)]^2
无论p的取值,即无论动点E位置,有:
(GB/AB)^2+(AF/AB)^2=(FG/AB)^2
GB^2+AF^2=FG^2
即:AF、FG、GB能组成一直角三角
三角形CDE的面积与四边形ADEB的面积相等
S△CDE=1/2S△ABC
CD*CE=1/2AC*BC=a^2
E为BC上动点,设BE/BC=p则:
(要使得三角形CDE的面积与四边形ADEB的面积相等,有0<p<1/2)
GB/AB=BE/BC=p..............................(1)
CE=BC-BE=a(1-p)
CD=a^2/CE=a/(1-p)
AD=AB-CD=2a-a/(1-p)=(a-2ap)/(1-p)
AF/AB=AD/AC=(1-2p)/[2(1-p)]................(2)
FG/AB=(AB-AF-BG)/AB=1-(1-2p)/[2(1-p)]-p
=(1-2p+2p^2)/[2(1-p)]......................(3)
(1)^2+(2)^2:
(GB/AB)^2+(AF/AB)^2
=p^2+(1-2p)^2/[2(1-p)]^2
=(4p^4-8p^3+8p^2-4p+1)/[2(1-p)]^2
(3)^2:
(FG/AB)^2
=(1-2p+2p^2)^2/[2(1-p)]^2
=(4p^4-8p^3+8p^2-4p+1)/[2(1-p)]^2
无论p的取值,即无论动点E位置,有:
(GB/AB)^2+(AF/AB)^2=(FG/AB)^2
GB^2+AF^2=FG^2
即:AF、FG、GB能组成一直角三角
