问题抛物线
过抛物线顶点,任何互相垂直的弦交抛物线于两点,求证:此两点连线的中点轨迹仍为一抛物线.
过抛物线顶点,任何互相垂直的弦交抛物线于两点,求证:此两点连线的中点轨迹仍为一抛物线.
答案设抛物线方程：y²=2px(p>0)
垂直弦方程分别为：y=kx,y=-x/k(k显然不为零，否则不成弦)
分别与抛物线方程联立---x≠0--->
交点坐标M(2p/k²,2p/k),N(2pk²,-2pk)
设：两点连线的中点P(X,Y)，则：X=p/k²+pk², Y=p/k-pk
--->Y²=p²(1/k²+k²-2)=p(X-2p) ...... x≠0
即：P轨迹为抛物线
垂直弦方程分别为：y=kx,y=-x/k(k显然不为零，否则不成弦)
分别与抛物线方程联立---x≠0--->
交点坐标M(2p/k²,2p/k),N(2pk²,-2pk)
设：两点连线的中点P(X,Y)，则：X=p/k²+pk², Y=p/k-pk
--->Y²=p²(1/k²+k²-2)=p(X-2p) ...... x≠0
即：P轨迹为抛物线
